MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltadd2dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltadd2dd 10398
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltadd2dd (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem ltadd2dd
StepHypRef Expression
1 ltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4ltadd2d 10395 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
61, 5mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137   + caddc 10141   < clt 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-addrcl 10199  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281
This theorem is referenced by:  zltaddlt1le  12531  2tnp1ge0ge0  12838  ccatrn  13571  eirrlem  15138  prmreclem5  15831  iccntr  22844  icccmplem2  22846  ivthlem2  23440  uniioombllem3  23573  opnmbllem  23589  dvcnvre  24002  cosordlem  24498  efif1olem2  24510  atanlogaddlem  24861  pntibndlem2  25501  pntlemr  25512  dya2icoseg  30679  opnmbllem0  33778  binomcxplemdvbinom  39078  zltlesub  40015  supxrge  40070  ltadd12dd  40075  xrralrecnnle  40118  0ellimcdiv  40399  climleltrp  40426  ioodvbdlimc1lem2  40665  stoweidlem11  40745  stoweidlem14  40748  stoweidlem26  40760  stoweidlem44  40778  dirkertrigeqlem3  40834  dirkercncflem1  40837  dirkercncflem2  40838  fourierdlem4  40845  fourierdlem10  40851  fourierdlem28  40869  fourierdlem40  40881  fourierdlem50  40890  fourierdlem57  40897  fourierdlem59  40899  fourierdlem60  40900  fourierdlem61  40901  fourierdlem68  40908  fourierdlem74  40914  fourierdlem75  40915  fourierdlem76  40916  fourierdlem78  40918  fourierdlem79  40919  fourierdlem84  40924  fourierdlem93  40933  fourierdlem111  40951  fouriersw  40965  smfaddlem1  41491  smflimlem3  41501
  Copyright terms: Public domain W3C validator