MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2sq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2sq 13151
Description: The square function on nonnegative reals is strictly monotonic. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
lt2sq (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑2) < (𝐵↑2)))

Proof of Theorem lt2sq
StepHypRef Expression
1 lt2msq 11120 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
2 recn 10238 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 recn 10238 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 sqval 13136 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
5 sqval 13136 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
64, 5breqan12d 4820 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) < (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
72, 3, 6syl2an 495 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) < (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
87ad2ant2r 800 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) < (𝐵↑2) ↔ (𝐴 · 𝐴) < (𝐵 · 𝐵)))
91, 8bitr4d 271 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴↑2) < (𝐵↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  2c2 11282  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  lt2sqd  13257  sqnprm  15636  basellem4  25030  bposlem7  25235  pntlemb  25506  minvecolem3  28062  strlem5  29444  dvasin  33827  abslt2sqd  40092  rrndistlt  41031  hoiqssbllem2  41361  sqrtpwpw2p  41978
  Copyright terms: Public domain W3C validator