Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt2addrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2addrd 29856
Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2addrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lt2addrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lt2addrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addrd.4 (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
lt2addrd (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem lt2addrd
StepHypRef Expression
1 lt2addrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 lt2addrd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4 lt2addrd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
53, 4resubcld 10660 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ)
65rehalfcld 11481 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
71, 6resubcld 10660 . 2 (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
82, 6resubcld 10660 . 2 (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
92recnd 10270 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
101recnd 10270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1110, 9addcld 10261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
124recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1311, 12subcld 10594 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℂ)
1413halfcld 11479 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℂ)
159, 14, 14subsub4d 10625 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
1615oveq2d 6809 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
179, 14subcld 10594 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
1810, 14, 17subadd23d 10616 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + ((𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
19132halvesd 11480 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴))
2019, 13eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℂ)
2110, 9, 20addsubassd 10614 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = (𝐵 + (𝐶 − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
2216, 18, 213eqtr4d 2815 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
2319oveq2d 6809 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) = ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)))
2411, 12nncand 10599 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴)) = 𝐴)
2522, 23, 243eqtrrd 2810 . 2 (𝜑𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
26 lt2addrd.4 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
27 difrp 12071 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
284, 3, 27syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+))
2926, 28mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) ∈ ℝ+)
3029rphalfcld 12087 . . 3 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
311, 30ltsubrpd 12107 . 2 (𝜑 → (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵)
322, 30ltsubrpd 12107 . 2 (𝜑 → (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)
33 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐))
3433eqeq2d 2781 . . . 4 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐)))
35 breq1 4789 . . . 4 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵))
3634, 353anbi12d 1548 . . 3 (𝑏 = (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
37 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))))
3837eqeq2d 2781 . . . 4 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)))))
39 breq1 4789 . . . 4 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶))
4038, 393anbi13d 1549 . . 3 (𝑐 = (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) → ((𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + 𝑐) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)))
4136, 40rspc2ev 3474 . 2 (((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 = ((𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) + (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2))) ∧ (𝐵 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐵 ∧ (𝐶 − (((𝐵 + 𝐶) − 𝐴) / 2)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
427, 8, 25, 31, 32, 41syl113anc 1488 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   + caddc 10141   < clt 10276  cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  xlt2addrd  29863
  Copyright terms: Public domain W3C validator