Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lswn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswn0 41705
Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases ( is the last symbol) and invalid cases ( means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0
StepHypRef Expression
1 lsw 13384 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
213ad2ant1 1102 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
3 wrdf 13342 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
4 lencl 13356 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpll 805 . . . . . . . 8 (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
6 elnnne0 11344 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
76biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
1110ltm1d 10994 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
13 elfzo0 12548 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊)))
149, 7, 12, 13syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
1514adantll 750 . . . . . . . 8 (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
165, 15ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
1716ex 449 . . . . . 6 ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
183, 4, 17syl2anc 694 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19 eleq1a 2725 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . 9 (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
2120eqcoms 2659 . . . . . . . 8 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . 7 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23 nnel 2935 . . . . . . 7 (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
2422, 23syl6ibr 242 . . . . . 6 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
2524necon2ad 2838 . . . . 5 ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
2618, 25syl6 35 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
2726com23 86 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28273imp 1275 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
292, 28eqnetrd 2890 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  c0 3948   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator