Theorem lswn0 41705

Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (∅ is the last symbol) and invalid cases (∅ means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 13384	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
2	1	3ad2ant1 1102	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
3		wrdf 13342	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
4		lencl 13356	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpll 805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
6		elnnne0 11344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
7	6	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8		nnm1nn0 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10		nn0re 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 10994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
13		elfzo0 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊)))
14	9, 7, 12, 13	syl3anbrc 1265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
15	14	adantll 750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
16	5, 15	ffvelrnd 6400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
17	16	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
18	3, 4, 17	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19		eleq1a 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
20	19	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
21	20	eqcoms 2659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23		nnel 2935	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl6ibr 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
25	24	necon2ad 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
26	18, 25	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28	27	3imp 1275	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29	2, 28	eqnetrd 2890	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ( lastS ‘𝑊) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∉ wnel 2926  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332

This theorem is referenced by: (None)