Theorem lsw 13459

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3316	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6314	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6304	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 6780	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6310	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 13407	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6394	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 697	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  1c1 10050   − cmin 10379  ♯chash 13232   lastS clsw 13399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fv 6009  df-ov 6768  df-lsw 13407

This theorem is referenced by:  lsw0  13460  lsw1  13462  lswcl  13463  ccatval1lsw  13477  lswccatn0lsw  13484  swrd0fvlsw  13564  swrdlsw  13573  swrdccatwrd  13589  repswlsw  13650  lswcshw  13682  lswco  13705  lsws2  13770  lsws3  13771  lsws4  13772  wrdl2exs2  13812  swrd2lsw  13817  psgnunilem5  18035  wlkonwlk1l  26690  wwlknlsw  26872  wwlksnext  26932  wwlksnredwwlkn  26934  wwlksnextproplem2  26949  clwlkclwwlklem2a1  27036  clwlkclwwlklem2a3  27038  clwlkclwwlklem2a4  27041  clwlkclwwlklem2  27044  clwwisshclwwslem  27058  clwwlknlbonbgr1  27089  clwwlkn2  27094  clwwlkel  27096  clwwlkf  27097  clwwlkwwlksb  27105  clwwlknonex2lem2  27178  2clwwlk2clwwlklem  27424  numclwlk1lem2f1  27437  iwrdsplit  30679  signsvtn0  30877  signstfveq0  30884  lswn0  41807  pfxfvlsw  41830