MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvacl 19166
Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvacl.p + = (+g𝑊)
lssvacl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssvacl (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvacl
StepHypRef Expression
1 simpll 742 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2770 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lssvacl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 19147 . . . . 5 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
54ad2ant2lr 734 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
6 eqid 2770 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2770 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2770 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
92, 6, 7, 8lmodvs1 19100 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
101, 5, 9syl2anc 565 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
1110oveq1d 6807 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
12 simplr 744 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑈𝑆)
13 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
146, 13, 8lmod1cl 19099 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1514ad2antrr 697 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16 simprl 746 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋𝑈)
17 simprr 748 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌𝑈)
18 lssvacl.p . . . 4 + = (+g𝑊)
196, 13, 18, 7, 3lsscl 19152 . . 3 ((𝑈𝑆 ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
2012, 15, 16, 17, 19syl13anc 1477 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
2111, 20eqeltrrd 2850 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  1rcur 18708  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lss 19142
This theorem is referenced by:  lsssubg  19169  lspprvacl  19211  lspvadd  19308  lidlacl  19427  minveclem2  23415  pjthlem2  23427  lshpkrlem5  34916  lcfrlem6  37350  lcfrlem19  37364  mapdpglem9  37483  mapdpglem14  37488
  Copyright terms: Public domain W3C validator