MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsssubg 19180
Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsssubg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsssubg ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lsssubg.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19160 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
43adantl 473 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
52lssn0 19164 . . 3 (𝑈𝑆𝑈 ≠ ∅)
65adantl 473 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ≠ ∅)
7 eqid 2761 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
87, 2lssvacl 19177 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
98anassrs 683 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
109ralrimiva 3105 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
11 eqid 2761 . . . . . 6 (invg𝑊) = (invg𝑊)
122, 11lssvnegcl 19179 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑥𝑈) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
13123expa 1112 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈)
1410, 13jca 555 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
1514ralrimiva 3105 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))
16 lmodgrp 19093 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1716adantr 472 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ Grp)
181, 7, 11issubg2 17831 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 (∀𝑦𝑈 (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈 ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ 𝑈))))
204, 6, 15, 19mpbir3and 1428 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  wss 3716  c0 4059  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  Grpcgrp 17644  invgcminusg 17645  SubGrpcsubg 17810  LModclmod 19086  LSubSpclss 19155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-lmod 19088  df-lss 19156
This theorem is referenced by:  lsssssubg  19181  islss3  19182  islss4  19185  lspsnsubg  19203  lmhmima  19270  lmhmpreima  19271  reslmhm  19275  reslmhm2  19276  reslmhm2b  19277  lsmcl  19306  lsmelval2  19308  phssip  20226  frlm0  20321  frlmsubgval  20331  frlmgsum  20334  frlmsslsp  20358  lssnlm  22727  islshpat  34826  lsatcv1  34857  dia2dimlem13  36886  dihvalcqat  37049  dihmeetlem16N  37132  dihmeetlem19N  37135  dochsat  37193  dihjat1lem  37238  dihjat1  37239  dvh3dimatN  37249  dvh2dimatN  37250  dochkrsm  37268  dochexmid  37278  mapdh6dN  37549  hdmap1l6d  37624  pwssplit4  38180  gsumlsscl  42693
  Copyright terms: Public domain W3C validator