Theorem lsssssubg 19081

Description: All subspaces are subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsssubg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsssssubg	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Proof of Theorem lsssssubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsssubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2	1	lsssubg 19080	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3	2	ex 449	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)))
4	3	ssrdv 3715	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680  ‘cfv 6001  SubGrpcsubg 17710  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-subg 17713  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-lss 19056

This theorem is referenced by:  lsmsp  19209  lspprabs  19218  pj1lmhm  19223  pj1lmhm2  19224  lspindpi  19255  lvecindp  19261  lsmcv  19264  pjdm2  20178  pjf2  20181  pjfo  20182  ocvpj  20184  pjthlem2  23330  lshpnel  34690  lshpnelb  34691  lsmsat  34715  lrelat  34721  lsmcv2  34736  lcvexchlem1  34741  lcvexchlem2  34742  lcvexchlem3  34743  lcvexchlem4  34744  lcvexchlem5  34745  lcv1  34748  lcv2  34749  lsatexch  34750  lsatcv0eq  34754  lsatcvatlem  34756  lsatcvat  34757  lsatcvat3  34759  l1cvat  34762  lkrlsp  34809  lshpsmreu  34816  lshpkrlem5  34821  dia2dimlem5  36776  dia2dimlem9  36780  dvhopellsm  36825  diblsmopel  36879  cdlemn5pre  36908  cdlemn11c  36917  dihjustlem  36924  dihord1  36926  dihord2a  36927  dihord2b  36928  dihord11c  36932  dihord6apre  36964  dihord5b  36967  dihord5apre  36970  dihjatc3  37021  dihmeetlem9N  37023  dihjatcclem1  37126  dihjatcclem2  37127  dihjat  37131  dvh3dim3N  37157  dochexmidlem2  37169  dochexmidlem6  37173  dochexmidlem7  37174  lclkrlem2b  37216  lclkrlem2f  37220  lclkrlem2v  37236  lclkrslem2  37246  lcfrlem23  37273  lcfrlem25  37275  lcfrlem35  37285  mapdlsm  37372  mapdpglem3  37383  mapdindp0  37427  lspindp5  37478  hdmaprnlem3eN  37569  hdmapglem7a  37638