Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslinds 20218
 Description: Linear independence is unchanged by working in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslindf.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
lsslindf.x 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsslinds ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))

Proof of Theorem lsslinds
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lsslindf.u . . . . . . . 8 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 18985 . . . . . . 7 (𝑆𝑈𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 lsslindf.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑊s 𝑆)
54, 1ressbas2 15978 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑆𝑈𝑆 = (Base‘𝑋))
763ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝑋))
87sseq2d 3666 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹𝑆𝐹 ⊆ (Base‘𝑋)))
933ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
10 sstr2 3643 . . . . . 6 (𝐹𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
119, 10mpan9 485 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) ∧ 𝐹𝑆) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊))
12 simpl3 1086 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) ∧ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐹𝑆)
1311, 12impbida 895 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹𝑆𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
148, 13bitr3d 270 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ↔ 𝐹 ⊆ (Base‘𝑊)))
15 rnresi 5514 . . . . 5 ran ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
1615sseq1i 3662 . . . 4 (ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆𝐹𝑆)
172, 4lsslindf 20217 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈 ∧ ran ( I ↾ 𝐹) ⊆ 𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
1816, 17syl3an3br 1407 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋 ↔ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊))
1914, 18anbi12d 747 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → ((𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
20 ovex 6718 . . . 4 (𝑊s 𝑆) ∈ V
214, 20eqeltri 2726 . . 3 𝑋 ∈ V
22 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2322islinds 20196 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
2421, 23mp1i 13 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑋)))
251islinds 20196 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
26253ad2ant1 1102 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
2719, 24, 263bitr4d 300 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑈𝐹𝑆) → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   I cid 5052  ran crn 5144   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980   LIndF clindf 20191  LIndSclinds 20192 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lindf 20193  df-linds 20194 This theorem is referenced by:  islinds3  20221
 Copyright terms: Public domain W3C validator