MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacsex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssacsex 19344
Description: In a vector space, subspaces form an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property. Strengthening of lssacs 19167 by lspsolv 19343. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacsex.1 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lssacsex.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lssacsex.3 𝑋 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssacsex (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem lssacsex
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19306 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2 lssacsex.3 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑊)
3 lssacsex.1 . . . 4 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssacs 19167 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
51, 4syl 17 . 2 (𝑊 ∈ LVec → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
6 simplll 815 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑊 ∈ LVec)
7 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
87elpwid 4312 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠𝑋)
9 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦𝑋)
10 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠)))
11 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
12 lssacsex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
133, 11, 12mrclsp 19189 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
146, 1, 133syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
1514fveq1d 6352 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})))
1614fveq1d 6352 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘𝑠) = (𝑁𝑠))
1715, 16difeq12d 3870 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)) = ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠)))
1810, 17eleqtrrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))
192, 3, 11lspsolv 19343 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑠𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘𝑊)‘𝑠)))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
206, 8, 9, 18, 19syl13anc 1479 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2114fveq1d 6352 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑧})) = (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2220, 21eleqtrd 2839 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2322ralrimiva 3102 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2423ralrimiva 3102 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) → ∀𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
2524ralrimiva 3102 . 2 (𝑊 ∈ LVec → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
265, 25jca 555 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  cdif 3710  cun 3711  wss 3713  𝒫 cpw 4300  {csn 4319  cfv 6047  Basecbs 16057  mrClscmrc 16443  ACScacs 16445  LModclmod 19063  LSubSpclss 19132  LSpanclspn 19171  LVecclvec 19302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-0g 16302  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-drng 18949  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172  df-lvec 19303
This theorem is referenced by:  lvecdim  19357  lindsdom  33714  aacllem  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator