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Theorem lss1d 19011
 Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if 𝑋 is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lss1d.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lss1d.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lss1d.t · = ( ·𝑠𝑊)
lss1d.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lss1d.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1d ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝐾   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝐹   𝑘,𝑊,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑘)   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lss1d
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lss1d.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
3 lss1d.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
43a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 = (Base‘𝐹))
5 lss1d.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
65a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
7 eqidd 2652 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
8 lss1d.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
98a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → · = ( ·𝑠𝑊))
10 lss1d.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1110a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
125, 1, 8, 3lmodvscl 18928 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘𝐾𝑋𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13123expa 1284 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘𝐾) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
1413an32s 863 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉)
15 eleq1a 2725 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1614, 15syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1716rexlimdva 3060 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣𝑉))
1817abssdv 3709 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ 𝑉)
19 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
201, 3, 19lmod0cl 18937 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
22 nfcv 2793 . . . 4 𝑘(0g𝐹)
23 nfre1 3034 . . . . . 6 𝑘𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)
2423nfab 2798 . . . . 5 𝑘{𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}
25 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘
2624, 25nfne 2923 . . . 4 𝑘{𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅
27 biidd 252 . . . 4 (𝑘 = (0g𝐹) → ({𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅ ↔ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅))
28 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑘 · 𝑋) ∈ V
2928elabrex 6541 . . . . 5 (𝑘𝐾 → (𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
30 ne0i 3954 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3129, 30syl 17 . . . 4 (𝑘𝐾 → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3222, 26, 27, 31vtoclgaf 3302 . . 3 ((0g𝐹) ∈ 𝐾 → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
3321, 32syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ≠ ∅)
34 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
35 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
3635rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋)))
3734, 36elab 3382 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋))
38 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
3938eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑎 = (𝑦 · 𝑋)))
4039cbvrexv 3202 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝐾 𝑎 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
4137, 40bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋))
42 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
43 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑏 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
4443rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑏 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋)))
4542, 44elab 3382 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋))
46 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
4746eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
4847cbvrexv 3202 . . . . . . . . . 10 (∃𝑘𝐾 𝑏 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
4945, 48bitri 264 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋))
5041, 49anbi12i 733 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ (∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
51 reeanv 3136 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦𝐾 𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ ∃𝑧𝐾 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
5250, 51bitr4i 267 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) ↔ ∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)))
53 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑊 ∈ LMod)
54 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑥𝐾)
55 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑦𝐾)
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐹) = (.r𝐹)
571, 3, 56lmodmcl 18923 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
5853, 54, 55, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾)
59 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑧𝐾)
60 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐹) = (+g𝐹)
611, 3, 60lmodacl 18922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾𝑧𝐾) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
6253, 58, 59, 61syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾)
63 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → 𝑋𝑉)
64 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝑊) = (+g𝑊)
655, 64, 1, 8, 3, 60lmodvsdir 18935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑥(.r𝐹)𝑦) ∈ 𝐾𝑧𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
6653, 58, 59, 63, 65syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
675, 1, 8, 3, 56lmodvsass 18936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
6853, 54, 55, 63, 67syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
6968oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑥(.r𝐹)𝑦) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7066, 69eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋))
71 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) → (𝑘 · 𝑋) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋))
7271eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) → (((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋)))
7372rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (((𝑥(.r𝐹)𝑦)(+g𝐹)𝑧) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
7462, 70, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋))
75 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)))
76 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 · 𝑎) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑋)) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7775, 76sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)))
7877eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
7978rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · (𝑦 · 𝑋))(+g𝑊)(𝑧 · 𝑋)) = (𝑘 · 𝑋)))
8074, 79syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((𝑦𝐾𝑧𝐾) ∧ 𝑥𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
8180expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑥𝐾 → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8281com23 86 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8382rexlimdvva 3067 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝑎 = (𝑦 · 𝑋) ∧ 𝑏 = (𝑧 · 𝑋)) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8452, 83syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}) → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))))
8584expcomd 453 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑥𝐾 → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
8685com24 95 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑥𝐾 → (𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → (𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))))
87863imp2 1304 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑥𝐾𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
88 ovex 6718 . . . 4 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
89 eqeq1 2655 . . . . 5 (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
9089rexbidv 3081 . . . 4 (𝑣 = ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋)))
9188, 90elab 3382 . . 3 (((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) = (𝑘 · 𝑋))
9287, 91sylibr 224 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑥𝐾𝑎 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})) → ((𝑥 · 𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
932, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 33, 92islssd 18984 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981 This theorem is referenced by:  lspsn  19050
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