Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lss1 19161
 Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lss1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)

Proof of Theorem lss1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2761 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2761 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 lssss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
43a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5 eqidd 2761 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
6 eqidd 2761 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lssss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
87a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9 ssid 3765 . . 3 𝑉𝑉
109a1i 11 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑉)
113lmodbn0 19095 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ≠ ∅)
12 simpl 474 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
13 eqid 2760 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2760 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
15 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
163, 13, 14, 15lmodvscl 19102 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
17163adant3r3 1200 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
18 simpr3 1238 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
19 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
203, 19lmodvacl 19099 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎) ∈ 𝑉𝑏𝑉) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
2112, 17, 18, 20syl3anc 1477 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
221, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 21islssd 19158 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-lmod 19087  df-lss 19155 This theorem is referenced by:  lssuni  19162  islss3  19181  lssmre  19188  lspf  19196  lspval  19197  lmhmrnlss  19272  lidl1  19442  aspval  19550  isphld  20221  ocv1  20245  islshpcv  34861  dochexmidlem8  37276  hdmaprnlem4N  37665  lnmfg  38172
 Copyright terms: Public domain W3C validator