MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspval 19187
Description: The span of a set of vectors (in a left module). (spanval 28526 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspval ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem lspval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspval.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspval.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspfval 19185 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}))
54fveq1d 6334 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
65adantr 466 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
7 simpr 471 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
8 fvex 6342 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
91, 8eqeltri 2845 . . . . 5 𝑉 ∈ V
109elpw2 4956 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
117, 10sylibr 224 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
121, 2lss1 19148 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
13 sseq2 3774 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑈𝑡𝑈𝑉))
1413rspcev 3458 . . . . 5 ((𝑉𝑆𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
1512, 14sylan 561 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
16 intexrab 4951 . . . 4 (∃𝑡𝑆 𝑈𝑡 {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
1715, 16sylib 208 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
18 sseq1 3773 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (𝑠𝑡𝑈𝑡))
1918rabbidv 3338 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
2019inteqd 4614 . . . 4 (𝑠 = 𝑈 {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
21 eqid 2770 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})
2220, 21fvmptg 6422 . . 3 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
2311, 17, 22syl2anc 565 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
246, 23eqtrd 2804 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  wss 3721  𝒫 cpw 4295   cint 4609  cmpt 4861  cfv 6031  Basecbs 16063  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184
This theorem is referenced by:  lspid  19194  lspss  19196  lspssid  19197  dochspss  37181  lcosslsp  42745
  Copyright terms: Public domain W3C validator