MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspvadd 19219
Description: The span of a vector sum is included in the span of its arguments. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspvadd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspvadd.a + = (+g𝑊)
lspvadd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspvadd ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspvadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . 2 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lspvadd.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 simp1 1128 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4 prssi 4461 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
543adant1 1122 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
6 lspvadd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
76, 1, 2lspcl 19099 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
83, 5, 7syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
96, 2lspssid 19108 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
103, 5, 9syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 prssg 4458 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
12113adant1 1122 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
1310, 12mpbird 247 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
14 lspvadd.a . . . 4 + = (+g𝑊)
1514, 1lssvacl 19077 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
163, 8, 13, 15syl21anc 1438 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
171, 2, 3, 8, 16lspsnel5a 19119 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680  {csn 4285  {cpr 4287  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055  LSpanclspn 19094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095
This theorem is referenced by:  lspsntri  19220  lsmsat  34715  mapdindp3  37430
  Copyright terms: Public domain W3C validator