Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspun0 19224
 Description: The span of a union with the zero subspace. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspun0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspun0.o 0 = (0g𝑊)
lspun0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspun0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspun0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspun0 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem lspun0
StepHypRef Expression
1 lspun0.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspun0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspun0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspun0.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
53, 4lmod0vcl 19102 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0𝑉)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑0𝑉)
76snssd 4476 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑉)
8 lspun0.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
93, 8lspun 19200 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ { 0 } ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
101, 2, 7, 9syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))))
114, 8lspsn0 19221 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1312uneq2d 3918 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }))
14 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
153, 14, 8lspcl 19189 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161, 2, 15syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊))
174, 14lss0ss 19159 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
181, 16, 17syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁𝑋))
19 ssequn2 3937 . . . . . 6 ({ 0 } ⊆ (𝑁𝑋) ↔ ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2018, 19sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ { 0 }) = (𝑁𝑋))
2113, 20eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 })) = (𝑁𝑋))
2221fveq2d 6337 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁‘(𝑁𝑋)))
233, 8lspidm 19199 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
241, 2, 23syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = (𝑁𝑋))
2522, 24eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑋) ∪ (𝑁‘{ 0 }))) = (𝑁𝑋))
2610, 25eqtrd 2805 1 (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 ∪ { 0 })) = (𝑁𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723  {csn 4317  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185 This theorem is referenced by:  dvh4dimN  37257
 Copyright terms: Public domain W3C validator