Theorem lspssp 19200

Description: If a set of vectors is a subset of a subspace, then the span of those vectors is also contained in the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspssp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspssp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lspssp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 19146	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		lspssp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	1, 4	lspss 19196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))
6	3, 5	syl3an2 1166	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))
7	2, 4	lspid 19194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
8	7	3adant3 1125	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
9	6, 8	sseqtrd 3788	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  ‘cfv 6031  Basecbs 16063  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184

This theorem is referenced by:  lspsnss  19202  lspprss  19204  lsp0  19221  lsslsp  19227  lmhmlsp  19261  lspextmo  19268  lsmsp  19298  lsppratlem3  19363  lsppratlem4  19364  islbs3  19369  rspssp  19440  ocvlsp  20236  frlmsslsp  20351  lspsslco  42744