MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssid 19198
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 28544 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspssid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4630 . 2 𝑈 {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡}
2 lspss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2771 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 lspss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
52, 3, 4lspval 19188 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
61, 5syl5sseqr 3803 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723   cint 4612  cfv 6030  Basecbs 16064  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185
This theorem is referenced by:  lspun  19200  lspsnid  19206  lsslsp  19228  lmhmlsp  19262  lsmsp  19299  lsmssspx  19301  lspvadd  19309  lspsolvlem  19356  lspsolv  19357  lsppratlem3  19364  lsppratlem4  19365  islbs3  19370  lbsextlem2  19374  lbsextlem4  19376  rspssid  19438  ocvlsp  20237  obselocv  20289  frlmsslsp  20352  lindff1  20376  islinds3  20390  lindsenlbs  33737  dochocsp  37189  djhunssN  37219  islssfg2  38167
  Copyright terms: Public domain W3C validator