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Theorem lspsolvlem 19190
 Description: Lemma for lspsolv 19191. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsolv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsolv.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lspsolv.p + = (+g𝑊)
lspsolv.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsolv.q 𝑄 = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
lspsolv.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsolv.ss (𝜑𝐴𝑉)
lspsolv.y (𝜑𝑌𝑉)
lspsolv.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
Assertion
Ref Expression
lspsolvlem (𝜑 → ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑟,𝐴   𝐵,𝑟,𝑧   𝑁,𝑟,𝑧   𝜑,𝑧   𝐹,𝑟   𝑆,𝑟   𝑉,𝑟,𝑧   𝑊,𝑟,𝑧   + ,𝑟,𝑧   · ,𝑟,𝑧   𝑋,𝑟,𝑧   𝑌,𝑟,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑄(𝑧,𝑟)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem lspsolvlem
Dummy variables 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspsolv.q . . . . . . 7 𝑄 = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
3 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)} ⊆ 𝑉
42, 3eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑄𝑉
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑉)
6 lspsolv.ss . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
71adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
8 lspsolv.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 lspsolv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) = (0g𝐹)
118, 9, 10lmod0cl 18937 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐹) ∈ 𝐵)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (0g𝐹) ∈ 𝐵)
13 lspsolv.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝑉)
14 lspsolv.v . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 lspsolv.t . . . . . . . . . . . . . . 15 · = ( ·𝑠𝑊)
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑊) = (0g𝑊)
1714, 8, 15, 10, 16lmod0vs 18944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑌) = (0g𝑊))
181, 13, 17syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((0g𝐹) · 𝑌) = (0g𝑊))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → ((0g𝐹) · 𝑌) = (0g𝑊))
2019oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) = (𝑧 + (0g𝑊)))
216sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝑉)
22 lspsolv.p . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑊)
2314, 22, 16lmod0vrid 18942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → (𝑧 + (0g𝑊)) = 𝑧)
247, 21, 23syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + (0g𝑊)) = 𝑧)
2520, 24eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) = 𝑧)
26 lspsolv.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2714, 26lspssid 19033 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴 ⊆ (𝑁𝐴))
281, 6, 27syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑁𝐴))
2928sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑁𝐴))
3025, 29eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
31 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (0g𝐹) → (𝑟 · 𝑌) = ((0g𝐹) · 𝑌))
3231oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (0g𝐹) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)))
3332eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g𝐹) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
3433rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (((0g𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 + ((0g𝐹) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
3512, 30, 34syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
366, 35ssrabdv 3714 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)})
3736, 2syl6sseqr 3685 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑄)
388lmodfgrp 18920 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
391, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝐹) = (1r𝐹)
418, 9, 40lmod1cl 18938 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐹) ∈ 𝐵)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐵)
43 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐹) = (invg𝐹)
449, 43grpinvcl 17514 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐵) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐵)
4539, 42, 44syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐵)
46 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (invg𝑊) = (invg𝑊)
4714, 46, 8, 15, 40, 43lmodvneg1 18954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) = ((invg𝑊)‘𝑌))
481, 13, 47syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) = ((invg𝑊)‘𝑌))
4948oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑌)))
50 lmodgrp 18918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
5214, 22, 16, 46grprinv 17516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑌)) = (0g𝑊))
5351, 13, 52syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 + ((invg𝑊)‘𝑌)) = (0g𝑊))
5449, 53eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (0g𝑊))
55 lspsolv.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5614, 55, 26lspcl 19024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
571, 6, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
5816, 55lss0cl 18995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁𝐴))
591, 57, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (𝑁𝐴))
6054, 59eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
61 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) → (𝑟 · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) → (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
6362eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) → ((𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6463rspcev 3340 . . . . . . . . 9 ((((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
6545, 60, 64syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
66 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)))
6766eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6867rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑌 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
6968, 2elrab2 3399 . . . . . . . 8 (𝑌𝑄 ↔ (𝑌𝑉 ∧ ∃𝑟𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
7013, 65, 69sylanbrc 699 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑄)
7170snssd 4372 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑄)
7237, 71unssd 3822 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄)
7314, 26lspss 19032 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁𝑄))
741, 5, 72, 73syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁𝑄))
758a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑊))
769a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
7714a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
7822a1i 11 . . . . . 6 (𝜑+ = (+g𝑊))
7915a1i 11 . . . . . 6 (𝜑· = ( ·𝑠𝑊))
8055a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
81 ne0i 3954 . . . . . . 7 (𝑌𝑄𝑄 ≠ ∅)
8270, 81syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ≠ ∅)
83 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)))
8483eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
8584rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
86 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑠 · 𝑌))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑠 → (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)))
8887eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑠 → ((𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
8988cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
9085, 89syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9190, 2elrab2 3399 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑄 ↔ (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
92 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)))
9392eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9493rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
95 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑡 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑡 · 𝑌))
9695oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑡 → (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))
9796eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑡 → ((𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
9897cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
9994, 98syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
10099, 2elrab2 3399 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑄 ↔ (𝑦𝑉 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
10191, 100anbi12i 733 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑄𝑦𝑄) ↔ ((𝑥𝑉 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) ∧ (𝑦𝑉 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))))
102 an4 882 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) ∧ (𝑦𝑉 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) ↔ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))))
103101, 102bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑄𝑦𝑄) ↔ ((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))))
104 reeanv 3136 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝐵𝑡𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) ↔ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
105 simp1ll 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝜑)
106105, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod)
107 simp1lr 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑎𝐵)
108 simp1rl 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑥𝑉)
10914, 8, 15, 9lmodvscl 18928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑥𝑉) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉)
110106, 107, 108, 109syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉)
111 simp1rr 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑦𝑉)
11214, 22lmodvacl 18925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉)
113106, 110, 111, 112syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉)
114 simp2l 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑠𝐵)
115 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1168, 9, 115lmodmcl 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑠𝐵) → (𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵)
117106, 107, 114, 116syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵)
118 simp2r 1108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑡𝐵)
119 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1208, 9, 119lmodacl 18922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵𝑡𝐵) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) ∈ 𝐵)
121106, 117, 118, 120syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) ∈ 𝐵)
122105, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌𝑉)
12314, 8, 15, 9lmodvscl 18928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐵𝑌𝑉) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)
124106, 114, 122, 123syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12514, 8, 15, 9lmodvscl 18928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉)
126106, 107, 124, 125syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉)
12714, 8, 15, 9lmodvscl 18928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑡𝐵𝑌𝑉) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)
128106, 118, 122, 127syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12914, 22lmod4 18961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) ∧ ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉 ∧ (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
130106, 110, 111, 126, 128, 129syl122anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
13114, 22, 8, 15, 9, 119lmodvsdir 18935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎(.r𝐹)𝑠) ∈ 𝐵𝑡𝐵𝑌𝑉)) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)))
132106, 117, 118, 122, 131syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)))
13314, 8, 15, 9, 115lmodvsass 18936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝐵𝑠𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))
134106, 107, 114, 122, 133syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))
135134oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))
136132, 135eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))
137136oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))))
13814, 22, 8, 15, 9lmodvsdi 18934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎𝐵𝑥𝑉 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))))
139106, 107, 108, 124, 138syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))))
140139oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
141130, 137, 1403eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))))
142105, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
143 simp3l 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
144 simp3r 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
1458, 9, 22, 15, 55lsscl 18991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑎𝐵 ∧ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁𝐴))
146142, 107, 143, 144, 145syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁𝐴))
147141, 146eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
148 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) → (𝑟 · 𝑌) = (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌))
149148oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)))
150149eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) → ((((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
151150rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r𝐹)𝑠)(+g𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
152121, 147, 151syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
153 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)))
154153eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
155154rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
156155, 2elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄 ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
157113, 152, 156sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) ∧ (𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)
1581573exp 1283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑠𝐵𝑡𝐵) → (((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)))
159158rexlimdvv 3066 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (∃𝑠𝐵𝑡𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
160104, 159syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
161160expimpd 628 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → (((𝑥𝑉𝑦𝑉) ∧ (∃𝑠𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
162103, 161syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑥𝑄𝑦𝑄) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))
163162exp4b 631 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎𝐵 → (𝑥𝑄 → (𝑦𝑄 → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))))
1641633imp2 1304 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑥𝑄𝑦𝑄)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)
16575, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164islssd 18984 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑆)
16655, 26lspid 19030 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆) → (𝑁𝑄) = 𝑄)
1671, 165, 166syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑄) = 𝑄)
16874, 167sseqtrd 3674 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑄)
169 lspsolv.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
170168, 169sseldd 3637 . 2 (𝜑𝑋𝑄)
171 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)))
172171eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
173172rexbidv 3081 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑟𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
174173, 2elrab2 3399 . . 3 (𝑋𝑄 ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
175174simprbi 479 . 2 (𝑋𝑄 → ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
176170, 175syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑟𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  {crab 2945   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  1rcur 18547  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020 This theorem is referenced by:  lspsolv  19191
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