MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsolv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsolv 19191
Description: If 𝑋 is in the span of 𝐴 ∪ {𝑌} but not 𝐴, then 𝑌 is in the span of 𝐴 ∪ {𝑋}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsolv ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsolv.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspsolv.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2651 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2651 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6 eqid 2651 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
7 eqid 2651 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2651 . . 3 {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)} = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
9 lveclmod 19154 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
109adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑊 ∈ LMod)
11 simpr1 1087 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝐴𝑉)
12 simpr2 1088 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌𝑉)
13 simpr3 1089 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
1413eldifad 3619 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 19190 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
164lvecdrng 19153 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
1716ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
18 simprl 809 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1910adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod)
2012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌𝑉)
21 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
22 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑊) = (0g𝑊)
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 18944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (0g𝑊))
2419, 20, 23syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (0g𝑊))
2524oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)))
2611adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝐴𝑉)
2720snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
2826, 27unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
291, 3lspssv 19031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑉)
3019, 28, 29syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑉)
3130ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)) ⊆ 𝑉)
3213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
3331, 32sseldd 3637 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋𝑉)
341, 6, 22lmod0vrid 18942 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑋)
3519, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑋)
3625, 35eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = 𝑋)
3736, 32eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
3837eldifbd 3620 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ¬ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
39 simprr 811 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
40 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌))
4140oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
4241eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
4339, 42syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
4443necon3bd 2837 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (¬ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) → 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4538, 44mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
46 eqid 2651 . . . . . . 7 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2651 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48 eqid 2651 . . . . . . 7 (invr‘(Scalar‘𝑊)) = (invr‘(Scalar‘𝑊))
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 18814 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
5017, 18, 45, 49syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
5150oveq1d 6705 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌))
525, 21, 48drnginvrcl 18812 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5317, 18, 45, 52syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 18936 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉)) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1368 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
561, 4, 7, 47lmodvs1 18939 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
5719, 20, 56syl2anc 694 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
5851, 55, 573eqtr3d 2693 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) = 𝑌)
5933snssd 4372 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6026, 59unssd 3822 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
611, 2, 3lspcl 19024 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
6219, 60, 61syl2anc 694 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
631, 4, 7, 5lmodvscl 18928 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
6419, 18, 20, 63syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
65 eqid 2651 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
661, 6, 65lmodvpncan 18964 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌))
6719, 64, 33, 66syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌))
681, 6lmodcom 18957 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) = (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
6919, 64, 33, 68syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) = (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
70 ssun1 3809 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋})
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋}))
721, 3lspss 19032 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋})) → (𝑁𝐴) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7319, 60, 71, 72syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁𝐴) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7473, 39sseldd 3637 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7569, 74eqeltrd 2730 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
761, 3lspssid 19033 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7719, 60, 76syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
78 snidg 4239 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
79 elun2 3814 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}))
8033, 78, 793syl 18 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}))
8177, 80sseldd 3637 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8265, 2lssvsubcl 18992 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 1367 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8467, 83eqeltrrd 2731 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
854, 7, 5, 2lssvscl 19003 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 1367 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8758, 86eqeltrrd 2731 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8815, 87rexlimddv 3064 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  -gcsg 17471  1rcur 18547  invrcinvr 18717  DivRingcdr 18795  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151
This theorem is referenced by:  lssacsex  19192  lspsnat  19193  lsppratlem1  19195  lsppratlem3  19197  lsppratlem4  19198  lbsextlem4  19209  lindsenlbs  33534
  Copyright terms: Public domain W3C validator