Theorem lspsntrim 19320

Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsntrim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntrim.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsntrim.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lspsntrim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsntrim	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntrim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsntrim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3	1, 2	lmodvnegcl 19126	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
4	3	3adant2 1126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lspsntrim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsntrim.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
8	1, 5, 6, 7	lspsntri 19319	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
9	4, 8	syld3an3 1516	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
10		lspsntrim.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	1, 5, 2, 10	grpsubval 17686	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌)))
12	11	sneqd 4333	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(𝑋 − 𝑌)} = {(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))})
13	12	fveq2d 6357	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
14	13	3adant1 1125	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
15	1, 2, 6	lspsnneg 19228	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	15	3adant2 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}))
18	17	oveq2d 6830	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
19	9, 14, 18	3sstr4d 3789	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +_gcplusg 16163  inv_gcminusg 17644  -_gcsg 17645  LSSumclsm 18269  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194

This theorem is referenced by:  mapdpglem1  37481  baerlem3lem2  37519  baerlem5alem2  37520  baerlem5blem2  37521