Theorem lspsneli 19223

Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (spansnmul 28753 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvsel.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvsel.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsnvsel.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvsel.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvsel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnvsel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnvsel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lspsnvsel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsneli	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnvsel.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnvsel.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspsnvsel.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnvsel.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	3, 4, 5	lspsncl 19199	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
7	1, 2, 6	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8		lspsnvsel.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
9	3, 5	lspsnid 19215	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
10	1, 2, 9	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
11		lspsnvsel.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		lspsnvsel.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		lspsnvsel.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14	11, 12, 13, 4	lssvscl 19177	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15	1, 7, 8, 10, 14	syl22anc 1478	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166   ·_𝑠 cvsca 16167  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194

This theorem is referenced by:  lspsnvsi  19226  lsmspsn  19306  lsppreli  19312  lspexch  19351  lvecindp  19360  lvecindp2  19361  lshpdisj  34795  lkrlsp  34910  lshpsmreu  34917  lshpkrlem5  34922  baerlem3lem2  37519  baerlem5alem2  37520  baerlem5blem2  37521