Theorem lspsnel5 19217

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnel5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lspsnel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsnel5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspsnel5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsnel5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lspsnel5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsnel6 19216	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
7		lspsnel5.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	biantrurd 530	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
9	6, 8	bitr4d 271	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194

This theorem is referenced by:  lspsnel5a  19218  lspprid1  19219  lspsnss2  19227  lsmelpr  19313  lspsncmp  19338  lspsnne1  19339  lspsnne2  19340  lspsneq  19344  lspindpi  19354  islbs2  19376  lindsenlbs  33735  lsatelbN  34814  lsmsat  34816  lsatfixedN  34817  l1cvpat  34862  dia2dimlem5  36877  dochsncom  37191  dihjat1lem  37237  dvh4dimlem  37252  lclkrlem2a  37316  lcfrlem6  37356  lcfrlem20  37371  lcfrlem26  37377  lcfrlem36  37387  mapdval2N  37439  mapdrvallem2  37454  mapdindp  37480  mapdh6aN  37544  lspindp5  37579  mapdh8ab  37586  mapdh8e  37593  hdmap1l6a  37619  hdmaprnlem3eN  37670  hdmapoc  37743