Theorem lspsncmp 19328

Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncmp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncmp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncmp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsncmp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncmp	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsncmp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsncmp.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspsncmp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsncmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lspsncmp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 19318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	1, 8, 3	lspsncl 19189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	10, 6, 11	syl2anc 565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspsncmp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	1, 8, 3, 10, 12, 14	lspsnel5 19207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
16	15	biimpar 463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17		eldifsni 4455	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
18	13, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19	18	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
20	1, 2, 3, 5, 7, 16, 19	lspsneleq 19327	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
21	20	ex 397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
22		eqimss 3804	. 2 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
23	21, 22	impbid1 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718   ⊆ wss 3721  {csn 4314  ‘cfv 6031  Basecbs 16063  0_gc0g 16307  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183  LVecclvec 19314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315

This theorem is referenced by:  lspsnne1  19329  lspabs2  19332  lspabs3  19333  lsatfixedN  34811  mapdindp0  37522  hdmaprnlem4N  37656