MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsncl 19199
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 19198). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsncl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 4484 . 2 (𝑋𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2 lspval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lspval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 lspval.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
52, 3, 4lspcl 19198 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
61, 5sylan2 492 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  Basecbs 16079  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  19202  lspsneli  19223  lspsn  19224  lspsnss2  19227  lsmelval2  19307  lsmpr  19311  lsppr  19315  lspprabs  19317  lspsncmp  19338  lspsnne1  19339  lspsnne2  19340  lspabs3  19343  lspsneq  19344  lspdisj  19347  lspdisj2  19349  lspfixed  19350  lspexchn1  19352  lspindpi  19354  lsmcv  19363  lshpnel  34791  lshpnelb  34792  lshpnel2N  34793  lshpdisj  34795  lsatlss  34804  lsmsat  34816  lsatfixedN  34817  lssats  34820  lsmcv2  34837  lsat0cv  34841  lkrlsp  34910  lkrlsp3  34912  lshpsmreu  34917  lshpkrlem5  34922  dochnel  37202  djhlsmat  37236  dihjat1lem  37237  dvh3dim3N  37258  lclkrlem2b  37317  lclkrlem2f  37321  lclkrlem2p  37331  lcfrvalsnN  37350  lcfrlem23  37374  mapdsn  37450  mapdn0  37478  mapdncol  37479  mapdindp  37480  mapdpglem1  37481  mapdpglem2a  37483  mapdpglem3  37484  mapdpglem6  37487  mapdpglem8  37488  mapdpglem9  37489  mapdpglem12  37492  mapdpglem13  37493  mapdpglem14  37494  mapdpglem17N  37497  mapdpglem18  37498  mapdpglem19  37499  mapdpglem21  37501  mapdpglem23  37503  mapdpglem29  37509  mapdindp0  37528  mapdheq4lem  37540  mapdh6lem1N  37542  mapdh6lem2N  37543  mapdh6dN  37548  lspindp5  37579  hdmaplem3  37582  mapdh9a  37599  hdmap1l6lem1  37617  hdmap1l6lem2  37618  hdmap1l6d  37623  hdmap1eulem  37633  hdmap11lem2  37654  hdmapeq0  37656  hdmaprnlem1N  37661  hdmaprnlem3N  37662  hdmaprnlem3uN  37663  hdmaprnlem4N  37665  hdmaprnlem7N  37667  hdmaprnlem8N  37668  hdmaprnlem9N  37669  hdmaprnlem3eN  37670  hdmaprnlem16N  37674  hdmap14lem9  37688  hgmaprnlem2N  37709  hdmapglem7a  37739
  Copyright terms: Public domain W3C validator