MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnat 19358
Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 28774 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z 0 = (0g𝑊)
lspsnat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsnat (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4076 . . . . . 6 ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2 simprl 746 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3 lspsnat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnat.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 simpl1 1226 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 19318 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simpl2 1228 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈𝑆)
9 simprr 748 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
109eldifad 3733 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝑈)
113, 4, 7, 8, 10lspsnel5a 19208 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12 0ss 4114 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ⊆ 𝑉
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14 simpl3 1230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋𝑉)
15 ssdif 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
1615ad2antrl 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
1716, 9sseldd 3751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18 uncom 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19 un0 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
2018, 19eqtri 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
2120fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23 lspsnat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑊)
2423, 4lsp0 19221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
2622, 25difeq12d 3878 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
2717, 26eleqtrrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28 lspsnat.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Base‘𝑊)
2928, 3, 4lspsolv 19356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
305, 13, 14, 27, 29syl13anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31 uncom 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32 un0 4109 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
3331, 32eqtri 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
3433fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
3530, 34syl6eleq 2859 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
3611, 35sseldd 3751 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋𝑈)
373, 4, 7, 8, 36lspsnel5a 19208 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
382, 37eqssd 3767 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
3938expr 444 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
4039exlimdv 2012 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
411, 40syl5bi 232 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
4241necon1bd 2960 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43 ssdif0 4087 . . . 4 (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
4442, 43syl6ibr 242 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45 simpl1 1226 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
4645, 6syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47 simpl2 1228 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈𝑆)
4823, 3lssle0 19159 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
4946, 47, 48syl2anc 565 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
5044, 49sylibd 229 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
5150orrd 843 1 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3a 1070   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  cdif 3718  cun 3719  wss 3721  c0 4061  {csn 4314  cfv 6031  Basecbs 16063  0gc0g 16307  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183  LVecclvec 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315
This theorem is referenced by:  lspsncv0  19359  lspsncv0OLD  19360  lsatcmp  34805  dihlspsnssN  37135  dihlspsnat  37136
  Copyright terms: Public domain W3C validator