Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsn 19215
 Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 simpl 468 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 lspsn.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 19176 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 eqid 2771 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
105, 7, 9lmod1cl 19100 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
1110adantr 466 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
124, 5, 6, 9lmodvs1 19101 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
1312eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋))
14 oveq1 6800 . . . . . . 7 (𝑘 = (1r𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
1514eqeq2d 2781 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝐹) → (𝑋 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋)))
1615rspcev 3460 . . . . 5 (((1r𝐹) ∈ 𝐾𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
1711, 13, 16syl2anc 573 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
18 eqeq1 2775 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1918rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2019elabg 3502 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2120adantl 467 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2217, 21mpbird 247 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
231, 2, 3, 8, 22lspsnel5a 19209 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
243adantr 466 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
254, 1, 2lspsncl 19190 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2625adantr 466 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
27 simpr 471 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
284, 2lspsnid 19206 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2928adantr 466 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
305, 6, 7, 1lssvscl 19168 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘𝐾𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3124, 26, 27, 29, 30syl22anc 1477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
32 eleq1a 2845 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3331, 32syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3433rexlimdva 3179 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3534abssdv 3825 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3623, 35eqssd 3769 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757  ∃wrex 3062  {csn 4316  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  1rcur 18709  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185 This theorem is referenced by:  lspsnel  19216  rnascl  19558  ldual1dim  34975  dia1dim2  36872  dib1dim2  36978  diclspsn  37004  dih1dimatlem  37139
 Copyright terms: Public domain W3C validator