Theorem lspprss 19115

Description: The span of a pair of vectors in a subspace belongs to the subspace. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprss.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lspprss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspprss	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprss.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprss.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lspprss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lspprss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
5	3, 4	jca 555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈))
6		prssg 4458	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈))
8	5, 7	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈)
9		lspprss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
10		lspprss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	9, 10	lspssp 19111	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
12	1, 2, 8, 11	syl3anc 1439	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680  {cpr 4287  ‘cfv 6001  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055  LSpanclspn 19094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095

This theorem is referenced by:  lsppratlem2  19271  dvh3dim2  37156  dvh3dim3N  37157  lclkrlem2n  37228