MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppreli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppreli 19303
Description: A vector expressed as a sum belongs to the span of its components. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppreli.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppreli.p + = (+g𝑊)
lsppreli.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppreli.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppreli.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppreli.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppreli.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppreli.a (𝜑𝐴𝐾)
lsppreli.b (𝜑𝐵𝐾)
lsppreli.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppreli.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsppreli (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lsppreli
StepHypRef Expression
1 lsppreli.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsppreli.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lsppreli.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsppreli.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspsnsubg 19193 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
61, 2, 5syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lsppreli.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
83, 4lspsnsubg 19193 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
91, 7, 8syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lsppreli.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
11 lsppreli.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 lsppreli.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
13 lsppreli.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
143, 10, 11, 12, 4, 1, 13, 2lspsneli 19214 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
15 lsppreli.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
163, 10, 11, 12, 4, 1, 15, 7lspsneli 19214 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17 lsppreli.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 eqid 2771 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1917, 18lsmelvali 18272 . . 3 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
206, 9, 14, 16, 19syl22anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
213, 4, 18, 1, 2, 7lsmpr 19302 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2220, 21eleqtrrd 2853 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316  {cpr 4318  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  SubGrpcsubg 17796  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185
This theorem is referenced by:  lspexch  19343  baerlem3lem1  37517  baerlem5alem1  37518  baerlem5blem1  37519
  Copyright terms: Public domain W3C validator