MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem6 19366
Description: Lemma for lspprat 19367. Negating the assumption on 𝑦, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem6.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
21adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3 lspprat.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑊 ∈ LVec)
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
98adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈𝑆)
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋𝑉)
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
1312adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌𝑉)
141adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑊)
16 simprl 746 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17 simprr 748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 19365 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
19 ssnpss 3858 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2120expr 444 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
222, 21mt2d 133 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
2322eq0rdv 4121 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
24 ssdif0 4087 . . . 4 (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
2523, 24sylibr 224 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}))
26 lveclmod 19318 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
276, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2827adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
298adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈𝑆)
30 eldifi 3881 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑈)
3130adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑥𝑈)
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 19208 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
3325, 32eqssd 3767 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
3433ex 397 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cdif 3718  wss 3721  wpss 3722  c0 4061  {csn 4314  {cpr 4316  cfv 6031  Basecbs 16063  0gc0g 16307  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183  LVecclvec 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315
This theorem is referenced by:  lspprat  19367
  Copyright terms: Public domain W3C validator