MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem6 19146
Description: Lemma for lspprat 19147. Negating the assumption on 𝑦, we arrive close to the desired conclusion. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem6.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsppratlem6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))

Proof of Theorem lsppratlem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspprat.p . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3 lspprat.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lspprat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 lspprat.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑊 ∈ LVec)
8 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈𝑆)
10 lspprat.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋𝑉)
12 lspprat.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌𝑉)
141adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
15 lsppratlem6.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑊)
16 simprl 794 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
17 simprr 796 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
183, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17lsppratlem5 19145 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈)
19 ssnpss 3708 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ 𝑈 → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2120expr 643 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) → ¬ 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
222, 21mt2d 131 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
2322eq0rdv 3977 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
24 ssdif0 3940 . . . 4 (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}) ↔ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) = ∅)
2523, 24sylibr 224 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥}))
26 lveclmod 19100 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
276, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
298adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈𝑆)
30 eldifi 3730 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑈)
3130adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑥𝑈)
324, 5, 28, 29, 31lspsnel5a 18990 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
3325, 32eqssd 3618 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥}))
3433ex 450 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  cdif 3569  wss 3572  wpss 3573  c0 3913  {csn 4175  {cpr 4177  cfv 5886  Basecbs 15851  0gc0g 16094  LModclmod 18857  LSubSpclss 18926  LSpanclspn 18965  LVecclvec 19096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-dvdsr 18635  df-unit 18636  df-invr 18666  df-drng 18743  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-lvec 19097
This theorem is referenced by:  lspprat  19147
  Copyright terms: Public domain W3C validator