Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem3 19351
 Description: Lemma for lspprat 19355. In the first case of lsppratlem1 19349, since 𝑥 ∉ (𝑁‘∅), also 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}), and since 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑥}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}), we have 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem3.x3 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19308 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
54snssd 4485 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lspprat.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssv 19185 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
93, 5, 8syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
119, 10sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
1211snssd 4485 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
13 lspprat.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lspprat.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1514pssssd 3846 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1613snssd 4485 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1712, 16unssd 3932 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
196, 18, 7lspcl 19178 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
203, 17, 19syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
21 df-pr 4324 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
226, 7lspssid 19187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
233, 17, 22syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
2423unssbd 3934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
25 ssun1 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋}))
276, 7lspss 19186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
283, 17, 26, 27syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
29 0ss 4115 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ⊆ 𝑉
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑉)
31 uncom 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ∅)
32 un0 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑌} ∪ ∅) = {𝑌}
3331, 32eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑌}) = {𝑌}
3433fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) = (𝑁‘{𝑌})
3510, 34syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})))
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3736eldifbd 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ { 0 })
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0g𝑊)
3938, 7lsp0 19211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘∅) = { 0 })
4137, 40neleqtrrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘∅))
4235, 41eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))
436, 18, 7lspsolv 19345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
45 uncom 3900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
46 un0 4110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
4745, 46eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
4847fveq2i 6355 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
4944, 48syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
5028, 49sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5150snssd 4485 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5224, 51unssd 3932 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5321, 52syl5eqss 3790 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5418, 7lspssp 19190 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
553, 20, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5615, 55sstrd 3754 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5756ssdifd 3889 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
5957, 58sseldd 3745 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
606, 18, 7lspsolv 19345 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1479 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
62 df-pr 4324 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
6362fveq2i 6355 . . 3 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
6461, 63syl6eleqr 2850 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
666, 18lssss 19139 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑉)
6867ssdifssd 3891 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
6968, 58sseldd 3745 . . . . . . 7 (𝜑𝑦𝑉)
7069snssd 4485 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦} ⊆ 𝑉)
7112, 70unssd 3932 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
7262, 71syl5eqss 3790 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
73 snsspr1 4490 . . . . 5 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
7473a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦})
756, 7lspss 19186 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
763, 72, 74, 75syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7776, 49sseldd 3745 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7864, 77jca 555 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715   ⊊ wpss 3716  ∅c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  ‘cfv 6049  Basecbs 16059  0gc0g 16302  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134  LSpanclspn 19173  LVecclvec 19304 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305 This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19353
 Copyright terms: Public domain W3C validator