MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprat 19201
Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if 𝑧 is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspprat (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑧)

Proof of Theorem lspprat
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3975 . . 3 (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} ↔ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅)
2 lspprat.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19154 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2651 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 18940 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
10 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 ⊆ {(0g𝑊)})
11 lspprat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
12 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
136, 12lss0ss 18997 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
144, 11, 13syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → {(0g𝑊)} ⊆ 𝑈)
1610, 15eqssd 3653 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = {(0g𝑊)})
17 lspprat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
186, 17lspsn0 19056 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
194, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → (𝑁‘{(0g𝑊)}) = {(0g𝑊)})
2116, 20eqtr4d 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
22 sneq 4220 . . . . . . . 8 (𝑧 = (0g𝑊) → {𝑧} = {(0g𝑊)})
2322fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{(0g𝑊)}))
2423eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ 𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)})))
2524rspcev 3340 . . . . 5 (((0g𝑊) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑁‘{(0g𝑊)})) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
269, 21, 25syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑈 ⊆ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
2726ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊆ {(0g𝑊)} → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
281, 27syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) = ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
295, 12lssss 18985 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
3011, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
3130ssdifssd 3781 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ⊆ 𝑉)
3231sseld 3635 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑧𝑉))
33 lspprat.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
34 lspprat.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
35 lspprat.p . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
365, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6lsppratlem6 19200 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
3732, 36jcad 554 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
3837eximdv 1886 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) → ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))))
39 n0 3964 . . 3 ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑊)}))
40 df-rex 2947 . . 3 (∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}) ↔ ∃𝑧(𝑧𝑉𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4138, 39, 403imtr4g 285 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ∖ {(0g𝑊)}) ≠ ∅ → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧})))
4228, 41pm2.61dne 2909 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 𝑈 = (𝑁‘{𝑧}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607  wpss 3608  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  37055
  Copyright terms: Public domain W3C validator