MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindpi 19345
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindpi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindpi.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindpi.x (𝜑𝑋𝑉)
lspindpi.y (𝜑𝑌𝑉)
lspindpi.z (𝜑𝑍𝑉)
lspindpi.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspindpi (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19318 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
65lsssssubg 19170 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
119, 5, 10lspsncl 19189 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
124, 8, 11syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 12sseldd 3751 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑉)
159, 5, 10lspsncl 19189 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
164, 14, 15syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
177, 16sseldd 3751 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1918lsmub1 18277 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2013, 17, 19syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 19301 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2220, 21sseqtr4d 3789 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23 sseq1 3773 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2422, 23syl5ibrcom 237 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 19190 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26 lspindpi.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 19207 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2824, 27sylibrd 249 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2928necon3bd 2956 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
301, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3118lsmub2 18278 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3213, 17, 31syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3332, 21sseqtr4d 3789 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
34 sseq1 3773 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑍}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3533, 34syl5ibrcom 237 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3635, 27sylibrd 249 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3736necon3bd 2956 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
381, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3930, 38jca 495 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wss 3721  {csn 4314  {cpr 4316  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  SubGrpcsubg 17795  LSSumclsm 18255  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183  LVecclvec 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315
This theorem is referenced by:  lspindp1  19346  baerlem5amN  37519  baerlem5bmN  37520  baerlem5abmN  37521  mapdindp4  37526  mapdh6bN  37540  mapdh6cN  37541  mapdh6dN  37542  mapdh6eN  37543  mapdh6fN  37544  mapdh6hN  37546  mapdh7eN  37551  mapdh7dN  37553  mapdh7fN  37554  mapdh75fN  37558  mapdh8aa  37579  mapdh8ab  37580  mapdh8ad  37582  mapdh8c  37584  mapdh8d0N  37585  mapdh8d  37586  mapdh8e  37587  mapdh9a  37592  mapdh9aOLDN  37593  hdmap1eq4N  37609  hdmap1l6b  37614  hdmap1l6c  37615  hdmap1l6d  37616  hdmap1l6e  37617  hdmap1l6f  37618  hdmap1l6h  37620  hdmap1eulemOLDN  37626  hdmapval0  37636  hdmapval3lemN  37640  hdmap10lem  37642  hdmap11lem1  37644  hdmap14lem11  37681
  Copyright terms: Public domain W3C validator