Theorem lspindp5 37553

Description: Obtain an independent vector set 𝑈, 𝑋, 𝑌 from a vector 𝑈 dependent on 𝑋 and 𝑍 and another independent set 𝑍, 𝑋, 𝑌. (Here we don't show the (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) part of the independence, which passes straight through. We also don't show nonzero vector requirements that are redundant for this theorem. Different orderings can be obtained using lspexch 19323 and prcom 4403.) (Contributed by NM, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp5.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp5.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp5.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp5.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
lspindp5.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
lspindp5.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspindp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp5.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2		lspindp5.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}))
3		ssel 3730	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4	2, 3	syl5com 31	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5	1, 4	mtod 189	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
6		lspindp5.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 19300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lspindp5.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspindp5.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		prssi 4490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
12	9, 10, 11	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
13		snsspr1 4482	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
15		lspindp5.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
16		lspindp5.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17	15, 16	lspss 19178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
19	18	biantrurd 530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))))
20		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
21	20	lsssssubg 19152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
22	8, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
23	15, 20, 16	lspsncl 19171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	8, 9, 23	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	22, 24	sseldd 3737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
26		lspindp5.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
27	15, 20, 16	lspsncl 19171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
28	8, 26, 27	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
29	22, 28	sseldd 3737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30	15, 20, 16, 8, 9, 10	lspprcl 19172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	22, 30	sseldd 3737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
33	32	lsmlub 18270	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
34	25, 29, 31, 33	syl3anc 1473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
35	19, 34	bitrd 268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
36	15, 20, 16, 8, 30, 26	lspsnel5 19189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
37	15, 16, 32, 8, 9, 26	lsmpr 19283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})))
38	37	sseq1d 3765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑈})) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
39	35, 36, 38	3bitr4d 300	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋, 𝑈}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
40	5, 39	mtbird 314	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ⊆ wss 3707  {csn 4313  {cpr 4315  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  SubGrpcsubg 17781  LSSumclsm 18241  LModclmod 19057  LSubSpclss 19126  LSpanclspn 19165  LVecclvec 19296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-lvec 19297

This theorem is referenced by:  mapdh8b  37563