MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspexchn1 19178
Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 19177 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspexchn1.x (𝜑𝑋𝑉)
lspexchn1.y (𝜑𝑌𝑉)
lspexchn1.z (𝜑𝑍𝑉)
lspexchn1.q (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn1.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspexchn1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))

Proof of Theorem lspexchn1
StepHypRef Expression
1 lspexchn1.e . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2 lspexchn1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2651 . . 3 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 lspexchn1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lspexchn1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑊 ∈ LVec)
7 eqid 2651 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8 lveclmod 19154 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 lspexchn1.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
112, 7, 4lspsncl 19025 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 10, 11syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 lspexchn1.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
14 lspexchn1.q . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
152, 3, 7, 9, 12, 13, 14lssneln0 19000 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}))
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}))
17 lspexchn1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
1817adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋𝑉)
1910adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑍𝑉)
202, 4, 9, 13, 10, 14lspsnne2 19166 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
2120adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
22 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
232, 3, 4, 6, 16, 18, 19, 21, 22lspexch 19177 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
241, 23mtand 692 1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151
This theorem is referenced by:  lspexchn2  19179
  Copyright terms: Public domain W3C validator