Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisjb 19339
 Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o 0 = (0g𝑊)
lspdisjb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u (𝜑𝑈𝑆)
lspdisjb.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspdisjb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspdisjb.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lspdisjb.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspdisjb.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 lspdisjb.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lspdisjb.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 lspdisjb.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
12 simpr 471 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ¬ 𝑋𝑈)
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 19338 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14 eldifsni 4457 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
159, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
1615adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋0 )
17 lveclmod 19319 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
185, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
191, 3lspsnid 19206 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2018, 10, 19syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21 elin 3947 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋𝑈))
22 eleq2 2839 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23 elsni 4333 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
2422, 23syl6bi 243 . . . . . . 7 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
2521, 24syl5bir 233 . . . . . 6 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋 = 0 ))
2625expd 400 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋𝑈𝑋 = 0 )))
2720, 26mpan9 496 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋𝑈𝑋 = 0 ))
2827necon3ad 2956 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋0 → ¬ 𝑋𝑈))
2916, 28mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋𝑈)
3013, 29impbida 802 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722  {csn 4316  ‘cfv 6031  Basecbs 16064  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316 This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  37546  hdmap1l6b0N  37620
 Copyright terms: Public domain W3C validator