Theorem lspdisj2 19340

Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspdisj2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspdisj2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4327	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
2	1	fveq2d 6337	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3		lspdisj2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 19319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspdisj2.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspdisj2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspsn0 19221	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	2, 9	sylan9eqr 2827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	10	ineq1d 3964	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12		lspdisj2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lspdisj2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 7	lspsncl 19190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	5, 12, 15	syl2anc 573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14	lss0ss 19159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
18	5, 16, 17	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19		df-ss 3737	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20	18, 19	sylib 208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
21	20	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
22	11, 21	eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
23	3	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24	16	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		lspdisj2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lspdisj2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	27	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	23	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
30	12	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33		simplr 752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
34	13, 6, 7, 29, 31, 32, 33	lspsneleq 19328	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35	34	ex 397	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
36	35	necon3ad 2956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
37	28, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
38	13, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37	lspdisj 19338	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
39	22, 38	pm2.61dane 3030	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  {csn 4317  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  0_gc0g 16308  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316

This theorem is referenced by:  lvecindp2  19353  hdmaprnlem9N  37667