Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisj 19173
 Description: The span of a vector not in a subspace is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj.o 0 = (0g𝑊)
lspdisj.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisj.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisj.u (𝜑𝑈𝑆)
lspdisj.x (𝜑𝑋𝑉)
lspdisj.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lspdisj (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspdisj.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19154 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspdisj.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
5 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7 lspdisj.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
9 lspdisj.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9lspsnel 19051 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
113, 4, 10syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
1211biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
1312adantrr 753 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
14 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))
15 lspdisj.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ¬ 𝑋𝑈)
17 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣𝑈)
1814, 17eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
19 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20 lspdisj.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
211ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
22 lspdisj.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈𝑆)
2322ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑈𝑆)
244ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑋𝑉)
25 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
267, 8, 5, 6, 19, 20, 21, 23, 24, 25lssvs0or 19158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋𝑈)))
2718, 26mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∨ 𝑋𝑈))
2827orcomd 402 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑋𝑈𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
2928ord 391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (¬ 𝑋𝑈𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3016, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑘 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3130oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋))
323ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
33 lspdisj.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑊)
347, 5, 8, 19, 33lmod0vs 18944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
3532, 24, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )
3614, 31, 353eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋))) → 𝑣 = 0 )
3736exp32 630 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
3837adantrl 752 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 )))
3938rexlimdv 3059 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4013, 39mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈)) → 𝑣 = 0 )
4140ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈) → 𝑣 = 0 ))
42 elin 3829 . . . 4 (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑣𝑈))
43 velsn 4226 . . . 4 (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
4441, 42, 433imtr4g 285 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑣 ∈ { 0 }))
4544ssrdv 3642 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ⊆ { 0 })
467, 20, 9lspsncl 19025 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
473, 4, 46syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
4833, 20lss0ss 18997 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
493, 47, 48syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
5033, 20lss0ss 18997 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → { 0 } ⊆ 𝑈)
513, 22, 50syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ 𝑈)
5249, 51ssind 3870 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈))
5345, 52eqssd 3653 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151 This theorem is referenced by:  lspdisjb  19174  lspdisj2  19175  lvecindp  19186
 Copyright terms: Public domain W3C validator