MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmub2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmub2x 18275
Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmub2x ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))

Proof of Theorem lsmub2x
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submrcl 17560 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 simpr 480 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
43sselda 3749 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐵)
5 lsmless2.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 eqid 2769 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 eqid 2769 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
85, 6, 7mndlid 17525 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
92, 4, 8syl2anc 693 . . . 4 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
105submss 17564 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑇𝐵)
1110ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑇𝐵)
12 simplr 806 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐵)
137subm0cl 17566 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑇)
1413ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → (0g𝐺) ∈ 𝑇)
15 simpr 480 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
16 lsmless2.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
175, 6, 16lsmelvalix 18269 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑇𝑥𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 𝑈))
182, 11, 12, 14, 15, 17syl32anc 1482 . . . 4 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) ∈ (𝑇 𝑈))
199, 18eqeltrrd 2849 . . 3 (((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑇 𝑈))
2019ex 448 . 2 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑇 𝑈)))
2120ssrdv 3755 1 ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wss 3720  cfv 6030  (class class class)co 6791  Basecbs 16070  +gcplusg 16155  0gc0g 16314  Mndcmnd 17508  SubMndcsubmnd 17548  LSSumclsm 18262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-0g 16316  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-submnd 17550  df-lsm 18264
This theorem is referenced by:  lsmub2  18285
  Copyright terms: Public domain W3C validator