Theorem lsmub1x 18267

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmless2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub1x	⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1x

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 17553	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antlr 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simpll 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
4		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
5	3, 4	sseldd 3751	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		lsmless2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mndrid 17519	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
10	2, 5, 9	syl2anc 565	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
11	6	submss 17557	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12	11	ad2antlr 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
13	8	subm0cl 17559	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
14	13	ad2antlr 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)
15		lsmless2.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16	6, 7, 15	lsmelvalix 18262	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
17	2, 3, 12, 4, 14, 16	syl32anc 1483	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
18	10, 17	eqeltrrd 2850	. . 3 ⊢ (((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
19	18	ex 397	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	19	ssrdv 3756	1 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +_gcplusg 16148  0_gc0g 16307  Mndcmnd 17501  SubMndcsubmnd 17541  LSSumclsm 18255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-lsm 18257

This theorem is referenced by:  lsmsubm  18274  lsmub1  18277