Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssv 18104
 Description: Subgroup sum is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmless2.v 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmless2.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmssv ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lsmssv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmless2.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2651 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmless2.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmvalx 18100 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
5 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑇𝐵)
76sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝐵)
87adantrr 753 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑥𝐵)
9 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
109sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦𝐵)
1110adantrl 752 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → 𝑦𝐵)
121, 2mndcl 17348 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
135, 8, 11, 12syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1413ralrimivva 3000 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15 eqid 2651 . . . . 5 (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
1615fmpt2 7282 . . . 4 (∀𝑥𝑇𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
1714, 16sylib 208 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵)
18 frn 6091 . . 3 ((𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑇 × 𝑈)⟶𝐵 → ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝐵)
204, 19eqsstrd 3672 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇𝐵𝑈𝐵) → (𝑇 𝑈) ⊆ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607   × cxp 5141  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Mndcmnd 17341  LSSumclsm 18095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-lsm 18097 This theorem is referenced by:  lsmsubm  18114  lsmass  18129  lsmcntzr  18139
 Copyright terms: Public domain W3C validator