MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmlub 18298
Description: The least upper bound property of subgroup sum. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmlub ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈𝑇𝑈) ↔ (𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈))

Proof of Theorem lsmlub
StepHypRef Expression
1 simp3 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmub1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
32lsmless12 18296 . . . . 5 (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑆𝑈𝑇𝑈)) → (𝑆 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑈))
43ex 449 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈𝑇𝑈) → (𝑆 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑈)))
51, 1, 4syl2anc 696 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈𝑇𝑈) → (𝑆 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑈)))
62lsmidm 18297 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
763ad2ant3 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
87sseq2d 3774 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑈) ↔ (𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈))
95, 8sylibd 229 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈𝑇𝑈) → (𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈))
102lsmub1 18291 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
11103adant3 1127 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
12 sstr2 3751 . . . 4 (𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇) → ((𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈𝑆𝑈))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈𝑆𝑈))
142lsmub2 18292 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
15143adant3 1127 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
16 sstr2 3751 . . . 4 (𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇) → ((𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈𝑇𝑈))
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈𝑇𝑈))
1813, 17jcad 556 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈 → (𝑆𝑈𝑇𝑈)))
199, 18impbid 202 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈𝑇𝑈) ↔ (𝑆 𝑇) ⊆ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  SubGrpcsubg 17809  LSSumclsm 18269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-subg 17812  df-lsm 18271
This theorem is referenced by:  lsmss1  18299  lsmss2  18301  lsmmod  18308  lsmcntz  18312  dprd2da  18661  dmdprdsplit2lem  18664  dprdsplit  18667  pgpfac1lem1  18693  lsmsp  19308  lspprabs  19317  lsmcv  19363  lrelat  34822  lsatexch  34851  lsatcvatlem  34857  lsatcvat  34858  dihjustlem  37025  dihord1  37027  dihord5apre  37071  lclkrlem2f  37321  lclkrlem2v  37337  lclkrslem2  37347  lcfrlem25  37376  lcfrlem35  37386  mapdlsm  37473  lspindp5  37579
  Copyright terms: Public domain W3C validator