MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmidm 18284
Description: Subgroup sum is idempotent. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmidm (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lsmidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmub1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmval 18270 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
54anidms 556 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
62subgcl 17812 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
763expb 1113 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 3120 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
109fmpt2 7391 . . . . 5 (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
118, 10sylib 208 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
1211frnd 6191 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
135, 12eqsstrd 3788 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) ⊆ 𝑈)
143lsmub1 18278 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1514anidms 556 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1613, 15eqssd 3769 1 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723   × cxp 5248  ran crn 5251  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  SubGrpcsubg 17796  LSSumclsm 18256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-lsm 18258
This theorem is referenced by:  lsmlub  18285  lspabs2  19333  lspabs3  19334  lsatcv0eq  34856  lsatcv1  34857  lsatcvat3  34861  dia2dimlem13  36886  dihjatcclem1  37228  dvh3dimatN  37249  dvh2dimatN  37250  mapdindp0  37529  mapdh6dN  37549  hdmap1l6d  37623
  Copyright terms: Public domain W3C validator