MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelvalm 18272
Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 18270 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelvalm.m = (-g𝐺)
lsmelvalm.p = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
lsmelvalm (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmelvalm.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmelvalm.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2770 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 lsmelvalm.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 18270 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
61, 2, 5syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
72adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
98subginvcl 17810 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
107, 9sylan 561 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12 lsmelvalm.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐺)
13 subgrcl 17806 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1514ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
1611subgss 17802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1817sselda 3750 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
1918adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
2011subgss 17802 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2221sselda 3750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2311, 3, 12, 8, 15, 19, 22grpsubinv 17695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2423eqcomd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
25 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
2625eqeq2d 2780 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ((𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥))))
2726rspcev 3458 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
2810, 24, 27syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
29 eqeq1 2774 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
3029rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
3128, 30syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
3231rexlimdva 3178 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
338subginvcl 17810 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
347, 33sylan 561 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
3518adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
3621sselda 3750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
3711, 3, 8, 12grpsubval 17672 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3835, 36, 37syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
39 oveq2 6800 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
4039eqeq2d 2780 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑧) → ((𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))))
4140rspcev 3458 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
4234, 38, 41syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
43 eqeq1 2774 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4443rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4542, 44syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4645rexlimdva 3178 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4732, 46impbid 202 . . 3 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
4847rexbidva 3196 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
496, 48bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  wss 3721  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630  -gcsg 17631  SubGrpcsubg 17795  LSSumclsm 18255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-lsm 18257
This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  18273  pgpfac1lem2  18681  pgpfac1lem3  18683  pgpfac1lem4  18684  mapdpglem3  37478
  Copyright terms: Public domain W3C validator