MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelval2 19297
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmelval2.u (𝜑𝑈𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsmelval2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmelval2.t . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑆)
3 lsmelval2.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 19169 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
51, 2, 4syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6 lsmelval2.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
73lsssubg 19169 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
81, 6, 7syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 eqid 2770 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lsmelval2.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
119, 10lsmelval 18270 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
125, 8, 11syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
131adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
142adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑇𝑆)
15 simprl 746 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦𝑇)
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
1716, 3lssel 19147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
1814, 15, 17syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦𝑉)
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2016, 3, 19lspsncl 19189 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
2113, 18, 20syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
223lsssubg 19169 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
2313, 21, 22syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
246adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑈𝑆)
25 simprr 748 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧𝑈)
2616, 3lssel 19147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑆𝑧𝑈) → 𝑧𝑉)
2724, 25, 26syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧𝑉)
2816, 3, 19lspsncl 19189 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
2913, 27, 28syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
303lsssubg 19169 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3113, 29, 30syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3216, 19lspsnid 19205 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
3313, 18, 32syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
3416, 19lspsnid 19205 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
3513, 27, 34syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
369, 10lsmelvali 18271 . . . . . . . 8 ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
38 eleq1a 2844 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
403, 10lsmcl 19295 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
4113, 21, 29, 40syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 19206 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4339, 42sylibd 229 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4443reximdvva 3166 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
4512, 44sylbid 230 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) → ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
465adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
473, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 19208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
4810lsmless1 18280 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑧})))
4946, 31, 47, 48syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑧})))
508adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
513, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 19208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
5210lsmless2 18281 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5346, 50, 51, 52syl3anc 1475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑇 (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5449, 53sstrd 3760 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 𝑈))
5554sseld 3749 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5642, 55sylbird 250 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑈)) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5756rexlimdvva 3185 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)))
5845, 57impbid 202 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
59 r19.42v 3239 . . . 4 (∃𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6059rexbii 3188 . . 3 (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦𝑇 (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
61 r19.42v 3239 . . 3 (∃𝑦𝑇 (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6260, 61bitri 264 . 2 (∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
6358, 62syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  wss 3721  {csn 4314  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  SubGrpcsubg 17795  LSSumclsm 18255  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141  LSpanclspn 19183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  37231
  Copyright terms: Public domain W3C validator