MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj 18265
Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisj.i (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj (𝜑 → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisj
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmcntz.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐺)
43lsmub1 18242 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
51, 2, 4syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇))
6 ssrin 3969 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (𝑆 𝑇) → (𝑆𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
8 lsmdisj.i . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
97, 8sseqtrd 3770 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑈) ⊆ { 0 })
10 lsmdisj.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
1110subg0cl 17774 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
13 lsmcntz.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1410subg0cl 17774 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑈)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑈)
1612, 15elind 3929 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆𝑈))
1716snssd 4473 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆𝑈))
189, 17eqssd 3749 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑈) = { 0 })
193lsmub2 18243 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
201, 2, 19syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇))
21 ssrin 3969 . . . . 5 (𝑇 ⊆ (𝑆 𝑇) → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
2322, 8sseqtrd 3770 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ { 0 })
2410subg0cl 17774 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
252, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑇)
2625, 15elind 3929 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑇𝑈))
2726snssd 4473 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑇𝑈))
2823, 27eqssd 3749 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
2918, 28jca 555 1 (𝜑 → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  cin 3702  wss 3703  {csn 4309  cfv 6037  (class class class)co 6801  0gc0g 16273  SubGrpcsubg 17760  LSSumclsm 18220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-subg 17763  df-lsm 18222
This theorem is referenced by:  lsmdisjr  18268  lsmdisj2a  18271  lsmdisj2b  18272
  Copyright terms: Public domain W3C validator