MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv 19189
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 28639 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1083 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
2 simp2 1082 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
3 pssss 3735 . . . 4 (𝑇𝑈𝑇𝑈)
42, 3syl 17 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
5 pssnel 4072 . . . . 5 (𝑇𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
7 simpl3 1086 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
8 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥𝑈)
97, 8sseldd 3637 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 19154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssssubg 19006 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑆)
1715, 16sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2119, 13, 20lspsncl 19025 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
2624, 25lsmelval 18110 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
28273ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2928adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
309, 29mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
31 simp1rr 1147 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥𝑇)
32 simp2l 1107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑇)
33 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
3433eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊))))
3534biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
36123ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38163ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
40 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑇)
4119, 13lssel 18986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑉)
43 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4419, 24, 43lmod0vrid 18942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4746biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
4847ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
5049exp4a 632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51503imp 1275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑇𝑦𝑇))
5352biimparc 503 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑇𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝑇)
5432, 51, 53syl6an 567 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥𝑇))
5554necon3bd 2837 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥𝑇𝑧 ≠ (0g𝑊)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
57103ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59583ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60 lmodabl 18958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63 simp1l1 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝜑)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑋𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7019, 13lssel 18986 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑉)
72 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7319, 24, 72ablpncan2 18267 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑈𝑆)
77 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
78 simp1rl 1146 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥𝑈)
7977, 78eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80 simp1l2 1175 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑈)
813sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑈𝑦𝑇) → 𝑦𝑈)
8280, 32, 81syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑈)
8372, 13lssvsubcl 18992 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8574, 84eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑈)
86593ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87633ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝜑)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑋𝑉)
89 simp12r 1195 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90 simp2 1082 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 19163 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝑆)
94 simp3 1083 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 19044 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
9691, 95eqsstr3d 3673 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
9756, 85, 96mpd3an23 1466 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98973exp 1283 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
9998rexlimdvv 3066 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
1016, 100exlimddv 1903 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
10215, 75sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10325lsmlub 18124 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1051043ad2ant1 1102 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1064, 101, 105mpbi2and 976 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
1071, 106eqssd 3653 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  wss 3607  wpss 3608  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  -gcsg 17471  SubGrpcsubg 17635  LSSumclsm 18095  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151
This theorem is referenced by:  lshpnelb  34589  lshpcmp  34593  lsmsatcv  34615  lsmcv2  34634  dochshpncl  36990
  Copyright terms: Public domain W3C validator