MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcntzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcntzr 18299
Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmcntzr (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntzr
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . 3 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmcntz.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5lsmcntz 18298 . 2 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍𝑆))))
7 subgrcl 17806 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8 grpmnd 17636 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 eqid 2770 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1110subgss 17802 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1310subgss 17802 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
143, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
1510, 1lsmssv 18264 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
169, 12, 14, 15syl3anc 1475 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
1710subgss 17802 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
184, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1910, 5cntzrec 17972 . . 3 (((𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑇 𝑈) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈))))
2016, 18, 19syl2anc 565 . 2 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈))))
2110, 5cntzrec 17972 . . . 4 ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
2212, 18, 21syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
2310, 5cntzrec 17972 . . . 4 ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈)))
2414, 18, 23syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈)))
2522, 24anbi12d 608 . 2 (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈))))
266, 20, 253bitr3d 298 1 (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  Mndcmnd 17501  Grpcgrp 17629  SubGrpcsubg 17795  Cntzccntz 17954  LSSumclsm 18255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator