Theorem lsmcntz 18313

Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmcntz	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 17821	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 17817	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
7		lsmcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	5, 7	cntzsubg 17990	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	3, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12	11	lsmlub 18299	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑍‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1477	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ↔ (𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈)))
14	13	bicomd 213	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ⊆ (𝑍‘𝑈) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ⊆ wss 3716  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  Grpcgrp 17644  SubGrpcsubg 17810  Cntzccntz 17969  LSSumclsm 18270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-lsm 18272

This theorem is referenced by:  lsmcntzr  18314