Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpset2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpset2N 34928
 Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z 0 = (0g𝐷)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpset2N (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2 lshpset2.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lshpset2.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
41, 2, 3lshpkrex 34927 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠)
5 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑠𝐻))
65biimparc 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐻 ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
76adantll 693 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
87adantlr 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
9 lshpset2.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lshpset2.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lshpset2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
12 simplll 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13 simplr 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔𝐹)
149, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13lkrshp3 34915 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
158, 14mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
1615ex 397 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17 eqimss2 3807 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 ⊆ (𝐾𝑔))
18 eqimss 3806 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝐾𝑔) ⊆ 𝑠)
1917, 18eqssd 3769 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔)))
2116, 20jcad 502 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
2221reximdva 3165 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → (∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
234, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)))
2423ex 397 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
259, 10, 11, 1, 2, 3lkrshp 34914 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
26253adant3r 1195 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
27 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
299, 27, 28, 1islshp 34788 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30293ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3126, 30mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32 eleq1 2838 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33 neeq1 3005 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠𝑉 ↔ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉))
34 uneq1 3911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾𝑔) ∪ {𝑣}))
3534fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐾𝑔) → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})))
3635eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3736rexbidv 3200 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3832, 33, 373anbi123d 1547 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐾𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3938adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40393ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4131, 40mpbird 247 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4241rexlimdv3a 3181 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
439, 27, 28, 1islshp 34788 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4442, 43sylibrd 249 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → 𝑠𝐻))
4524, 44impbid 202 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
4645abbi2dv 2891 1 (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757   ≠ wne 2943  ∃wrex 3062   ∪ cun 3721  {csn 4317   × cxp 5248  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  0gc0g 16308  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  LSHypclsh 34784  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lshyp 34786  df-lfl 34867  df-lkr 34895 This theorem is referenced by:  islshpkrN  34929
 Copyright terms: Public domain W3C validator