Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel 34792
 Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnel.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)

Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpnel.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 34791 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
63adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 19181 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
107, 2, 3, 4lshplss 34790 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1110adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 11sseldd 3746 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
161, 7, 15lspsncl 19200 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14, 16syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
189, 17sseldd 3746 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
207, 15, 6, 11, 19lspsnel5a 19219 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
2221lsmss2 18302 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2797 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
2726ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = 𝑉))
2827necon3ad 2946 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ 𝑋𝑈))
295, 28mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3716  {csn 4322  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  SubGrpcsubg 17810  LSSumclsm 18270  LModclmod 19086  LSubSpclss 19155  LSpanclspn 19194  LSHypclsh 34784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-lsm 18272  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lshyp 34786 This theorem is referenced by:  lshpnelb  34793  lshpne0  34795  lshpdisj  34796
 Copyright terms: Public domain W3C validator